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什么是最小树形图

最小树形图就是给定一个$n$个点的有向图,我们钦定一个根,现在要找$n-1$条边,在根能到达其他所有点的前提条件下,使得$n-1$条边的总长度尽可能小。

怎么找最小树形图

这里就得用到朱刘算法了。朱刘算法是一个$O(n \cdot m)$的算法。当然,还有Tarjan巨神的$O(nlogn)$的算法。但我太菜了,并学不会

图出自这里

image

上面这张图很好的诠释了朱刘算法的主要内容:

我们算法主要有以下几个步骤:

  1. 找到到达每个点的长度最小的入边(根节点不找)
  2. 这些边如果连成一颗树则结束;
  3. 如果这些边中除了根节点以外有孤独一个的点的话,则无解;
  4. 否则一定会连出一些环,我们把这些环缩起来,答案加上这些环上边权和,然后构建新图:所有连向这些环的边的边权减去对应的点之前的最小的入边的边权(即步骤1找到的那一条)。建完新图之后回到步骤1。

朱刘算法如何实现

从上面的口胡,我们可以发现,我们要实现一个动态缩点,动态构图的过程。可想而知,算法并不好写。

笔者个人的写法是开两个图,辗转使用。魔改Tarjan来实现找环的过程。

代码在这里(丑不忍赌)

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//Luogu P4716 【模板】最小树形图
//Apr,9th,2019
//朱刘算法求有向图最小生成树
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
long long x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int N=2*100+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct edge
{
int t,w;
edge (int x=0,int y=0)
{
t=x,w=y;
}
};
vector <edge> e[2][N];
edge e2[N];
int n,m,r,id[N],cnt,t_now;
bool vis[N],gone[N],IsNew[N];
int mstack[N],top;
int dfs(int now)
{
int t_ans=0;
mstack[++top]=now;
vis[now]=gone[now]=true;
if(vis[e2[now].t]==true)
{
cnt++;
while(mstack[top+1]!=e2[now].t)
IsNew[mstack[top]]=true,
id[mstack[top--]]=cnt;
t_ans+=e2[now].w;
}
else if(gone[e2[now].t]==false)
{
t_ans=dfs(e2[now].t);
if(id[now]==cnt)
t_ans+=e2[now].w;
}
vis[now]=false;
return t_ans;
}
int GetID(int x)
{
if(id[x]==0) return x;
return id[x]=GetID(id[x]);
}
int ZhuLiu(int S)
{
int ans=0;
while(1)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
e2[GetID(i)].w=inf;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=0;j<int(e[t_now][i].size());j++)
if(e[t_now][i][j].t!=S and e[t_now][i][j].w<e2[e[t_now][i][j].t].w)
e2[e[t_now][i][j].t].t=i,
e2[e[t_now][i][j].t].w=e[t_now][i][j].w;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i!=S and e2[GetID(i)].w==inf)
return -1;//有单独点
memset(gone,0,sizeof gone);
memset(vis,0,sizeof vis);
memset(IsNew,0,sizeof IsNew);
int t_ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(gone[GetID(i)]==false and i!=S)
top=0,
t_ans+=dfs(GetID(i)),gone[cnt]=true;
ans+=t_ans;
if(t_ans==0)
{
memset(vis,0,sizeof vis);
bool OK=false;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i!=S and vis[GetID(i)]==false)
OK=max(OK,e2[GetID(i)].t==S),
ans+=e2[GetID(i)].w,vis[GetID(i)]=true;
if(OK==false) ans=-1;
break; //无环,完成
}
int mnext=(t_now+1)%2;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
e[mnext][i].clear();
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=0;j<int(e[t_now][i].size());j++)
if(GetID(i)!=GetID(e[t_now][i][j].t))
{
if(IsNew[e[t_now][i][j].t]==true)
e[mnext][GetID(i)].push_back(edge(GetID(e[t_now][i][j].t),e[t_now][i][j].w - e2[e[t_now][i][j].t].w));
else
e[mnext][GetID(i)].push_back(edge(GetID(e[t_now][i][j].t),e[t_now][i][j].w));
}
t_now=(t_now+1)%2;
}
return ans;
}
int main()
{
freopen("4716.in","r",stdin);
freopen("4716.out","w",stdout);

n=read(),m=read(),r=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int s=read(),t=read(),w=read();
if(s==t) continue;
e[t_now][s].push_back(edge(t,w));
}

cnt=n;
int ans=ZhuLiu(r);

printf("%d",ans);
return 0;
}

朱刘算法的应用

目前好像只有模板题

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