快速傅里叶变换学习笔记（FFT）

什么是FFT

FFT是用来快速计算两个多项式相乘的一种算法。如果我们暴力计算两个多项式相乘，复杂度必然是$O(n^2)$的，而FFT可以将复杂度降至$O(nlogn)$

如何FFT

要学习FFT,我们得先了解它的思想。

首先，我们得先了解如何表示一个多项式。显然，我们最传统的方法表示多项式就是表示它的系数就好。但是，如果我们用系数来计算两个多项式相乘，复杂度无论如何都是$O(n^2)$的。因此，我们引入点值表示法。

补充资料：什么是点值表示

设$A(x)$是一个$n−1$次多项式，那么把$n$个不同的$x$代入，会得到$n$个$y$。这$n$对$(x,y)$唯一确定了该多项式，即只有一个多项式能同时满足“代入这些$x$，得到的分别是这些$y$”。由多项式可以求出其点值表示，而由点值表示也可以求出多项式。
——胡小兔dalao的博客

所以说，我们要表示一个$n-1$次多项式，可以用$n$个点值来表示。如果用点值来计算两个多项式相乘，那就很简单了，我们只需要两个多项式的点值两两对应相乘即可（如果两个多项式次数不同，我们也必须让次数较小的那个多项式强行算够一样多的点值（即多取几个$x$来计算即可）），这样做的复杂度是$O(n)的$。

因此，如果我们能快速地把一个多项式从系数表示变为点值表示，我们就能快速计算两个多项式相乘啦。

这个快速计算的过程就是FFT。

1.如何取点

我们要把一个多项式从系数形式变为点值形式，肯定躲不开取$x$的过程。先辈傅里叶已经为我们解决了这个问题。他取的$x$为虚数。

如果您没有学习过复数，请移步胡小兔dalao的博客，他有详细的讲解。

所以说，我们是假设把一个单位圆分成n份（纵坐标为虚部，横坐标为实部），单位圆上我们每取的一个点所代表的虚数（实部与虚部相加）即对应一个$x$

根据我们的数学知识，圆上的任意一个我们取出来的点的坐标都可以表示为$(cos((k2pi)/n),sin((k2pi)/n))$的形式，逆时针将这$n$个点从$0$开始编号，第$k$个点对应的虚数记作$ω_n^k$

补充资料：单位根的性质

性质一：$ω^{2k}_{2n}=ω^k_n$ 证明：它们对应的点/向量是相同的。

性质二：$ω^{k+n/2}_n=−ω^k_n$ 证明：它们对应的点是关于原点对称的（对应的向量是等大反向的）。

——胡小兔dalao的博客

这样子，我们就取出了$n$个$x$

补充资料：为什么要取这些点 如果我们取这些点，我们最后可以快速地把点值式转换为系数式，具体方法及证明见下文

2.如何快速算出每个$x$对应的多项式的值

这就涉及到FFT的核心算法了。如果我们暴力去算，复杂度依旧是$O(n^2)$，并没有什么用。因此，我们FFT的核心思想是分治。

我们先把原多项式拉出来：

$A(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4*x^4+…+a_{n-1}*x^{n-1}$

设两个新的多项式：

$A_1(x)=a_0x^0+a_2x^1+a_4x^2+a_6x^3+…a_{n-2}*x^{n/2-1}$

$A_2(x)=a_1x^0+a_3x^1+a_5x^2+a_7x^3+…a_{n-1}*x^{n/2-1}$

显然我们有：

$A(x)=A_1(x^2)+x*A_2(x^2)$

所以说，我们可以把原来得式子分成两个长度只有一半的式子，每次都能减少一半的计算量，这样子，我们复杂度就变成了$O(n*logn)$

假设我们已经递归下去算出了$A_1$与$A_2$在$(\omega_{\frac{n}{2}}^{0}, \omega_{\frac{n}{2}}^{1}, \omega_{\frac{n}{2}}^{2}, … , \omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1})$的值，怎么合并回$A$在$(\omega_n^{0}, \omega_n^{1}, \omega_n^{2}, … , \omega_n^{n-1})$的值呢？

我们把$\omega_n^x$带回我们刚刚的这个式子：$A(x)=A_1(x^2)+x*A_2(x^2)$有：

$A(\omega_n^x)=A_1(\omega_n^{x^2})+\omega_n^x*A_2(\omega_n^{x^2})$

$A(\omega_n^x)=A_1(\omega_{n/2}^{x})+\omega_n^x*A_2(\omega_{n/2}^{x})$

那另外那一半怎么算呢？

同样把$\omega_n^{x+n/2}$带入$A(x)=A_1(x^2)+x*A_2(x^2)$有：

$A(\omega_n^{k + \frac{n}{2}}) = A_1(\omega_n^{2k + n}) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k + n})$

$A(\omega_n^{k + \frac{n}{2}}) = A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k} \times \omega_n^n) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}} A_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k} \times \omega_n^n)$

$A(\omega_n^{k + \frac{n}{2}}) = A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) - \omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})$ 1

实现上，差不多长这样：

const double PI=acos(-1);
typedef complex <double> cp;
inline cp omega (int K,int n)
{
    return cp(cos(2*PI*K/n),sin(2*PI*K/n));
}
void FFT(cp a[],int n,bool type)
{
    if(n==1) return;
    static cp buf[M];
    int m=n/2;
    for(int i=0;i<m;i++)
        buf[i]=a[i*2],buf[i+m]=a[i*2+1];
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=buf[i];
    FFT(a,m,type);
    FFT(a+m,m,type);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cp x=omega(i,n);
        if(type==true) x=conj(x);//conj在这里做取倒的作用，具体作用请看下文第四点
        buf[i]=a[i]+x*a[i+m];
        buf[i+m]=a[i]-x*a[i+m];
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=buf[i];
}

3.后续优化

理论上来说，我们已经可以实现FFT了，很不幸的是，递归版本的常数巨大（递归消耗以及大量的三角函数计算），我们可以通过一些玄学方法来优化这份FFT代码：

在进行fft时，我们要把各个系数不断分组并放到两侧，那么一个系数原来的位置和最终的位置有什么规律呢？

初始位置：0 1 2 3 4 5 6 7 第一轮后：0 2 4 61 3 5 7 第二轮后：0 42 61 53 7 第三轮后：04261537

“”代表分组界限。

可以发现（这你都能发现？），一个位置a上的数，最后所在的位置是“a二进制翻转得到的数”，例如6(011)最后到了3(110)，1(001)最后到了4(100)。

那么我们可以据此写出非递归版本fft：先把每个数放到最后的位置上，然后不断向上还原，同时求出点值表示

代码大概长这样：

void FFT(cp a[],int n,bool type)
{
    static int len=0,t_num=n-1,t[N];
    while(t_num!=0) t_num/=2,len++;
    for(int i=0,j;i<=n;i++)
    {
        for(t_num=i,j=0;j<len;j++)
            t[j]=t_num%2,t_num/=2;
        reverse(t,t+len);
        for(t_num=0,j=0;j<len;j++)
            t_num+=t[j]*(1<<j);
        if(i<t_num) swap(a[i],a[t_num]);
    }
    for(int l=2;l<=n;l*=2)
    {
        int m=l/2;
        cp x0=omega(1,l);
        if(type==true) x0=conj(x0);
        for(int i=0;i<n;i+=l)
        {
            cp x=cp(1,0);
            for(int j=0;j<m;j++,x*=x0)
            {
                cp temp=x*a[i+j+m];
                a[i+j+m]=a[i+j]-temp;
                a[i+j]=a[i+j]+temp;
            }
        }
    }
}

4.怎么把点值式换回系数

FFT有一个性质：把多项式$A(x)$的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式$B(x)$的系数，取单位根的倒数即$ω^0_n,ω_n^{-1},ω_n^{-2},…,ω^{-n+1}_n$作为$x$代入$B(x)$，得到的每个数再除以$n$，得到的$是A(x)$的各项系数啦。

补充资料：如何证明这个性质

我们设带入后$B$的某个点值为$z_k$,多项式$B$算出来的某个点值为$j_i$,我们有：

$z_k = \sum_{i = 0}^{n - 1} y_i(\omega_n^{-k})^i$

$z_k= \sum_{i = 0}^{n - 1}(\sum_{j = 0}^{n - 1} a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^{-k})^i$

$z_k= \sum_{j = 0}^{n - 1}a_j(\sum_{i = 0}^{n - 1}(\omega_n^{j - k})^i)$

这里的$sum_{i = 0}^{n - 1}(omega_n^{j - k})^i$是可以求出来得，当$j=k$的时候，这个式子等于$n$，其他时候均为$0$（使用等比数列求和即可证明）

因此我们有：$z_k=n*a_k$。证毕

最后的最后…

恭喜你，到此为止，你已经学会了FFT

撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿