[Luogu P2257] YY的GCD

题面

传送门:洛咕


Solution

推到自闭,我好菜啊

显然,这题让我们求:
$\large \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\in prime]$

根据套路,我们可以把判断是否为质数改为枚举这个质数,有:
为了方便枚举,我们在这里假设有$m>n$
$\large \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k\in prime}^{n}[gcd(i,j)= k]$
显然,要让$gcd(i,j)=k$,必须要有$i,j$均为$k$的倍数,因此有:
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)= 1]$ (在这里除号指向下取整)

根据套路,我们要去掉这里的判断符号。因为我们的莫比乌斯函数有这个性质:$[x=1]=\sum_{d|x}\mu(d)$,我们这里可以直接把$gcd(i,j)$作为$x$带入这个性质里面,有:
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

然后根据套路,我们直接枚举这里的$d$,有:
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}\sum_{d=1}^{n/k}μ(d)[d|gcd(i,j)]$ (因为前面$i,j$中最小的是$n/k$,所以说我们这里$d$的最大值也为$n/k$)
然后我们这里的$\sum_{d=1}^{n/k}$显然可以直接往前提
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{d=1}^{n/k}\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}μ(d)[d|gcd(i,j)]$
这时候$\mu(d)$显然也可以往前提
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{d=1}^{n/k}μ(d)\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[d|gcd(i,j)]$

这时候,我们可以发现后面那个判断式为1当且仅当$i,j$均为$d$的倍数,所以我们可以直接把那两个$\sum$简化掉
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{d=1}^{n/k}μ(d)\frac{n}{k*d}\frac{m}{k*d}$

这时候,我们已经可以在$O(logn*\sqrt n)$的时间内算一次答案了(这里的$log$为质数个数),很可惜,这样的复杂度并不能通过这一题。

事实上,我们还有一个常见的套路来优化这里:
我们可以设$T=k*d$,于是我们有:
$\large \sum_{k\in prime}^{n}\sum_{d=1}^{n/k}μ(\frac{T}{k})\frac{n}{T}\frac{m}{T}$
然后可以把后面那个和式提前,枚举T,有:
$\large \sum_{T=1}^{n}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{(k\in prime,k|T)}μ(\frac{T}{k})$

搞定,到这里为止,我们一切东西都可以算了。
前面的$\frac{n}{T}\frac{m}{T}$可以整除分块来搞,后面那个$μ$可以在$O(n)$的时间预处理,然后算的时候前缀和一搞就ok啦。
如何预处理呢?我们可以考虑这样做:我们先枚举每一个质数$x$,再考虑这个$x$对它的整数倍$t$的贡献为$\mu(t)$

酱紫,我们就可以在$O(\sqrt n)$的时间内处理每一个询问了。
完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿


Code

//Luogu P2257 YY的GCD
//Jan,22ed,2019
//莫比乌斯反演
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x\*10+c-'0';c=getchar();}
    return x\*f;
}
const int N=10000000+1000;
const int M=10000000;
int mu[N],prime[N],cnt_p;
bool noPrime[N];
void GetPrime(int n)
{
    mu[1]=1;
    noPrime[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(noPrime[i]==false)
            prime[++cnt_p]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt_p and i\*prime[j]<=n;j++)
        {
            noPrime[i\*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i\*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i\*prime[j]]=mu[i]\*mu[prime[j]];
        }
    }
}
long long f[N],pre_f[N];
int main()
{
    int t=clock();
    GetPrime(M);
    for(int i=1;i<=cnt_p;i++)
        for(int j=1;prime[i]\*j<=M;j++)
            f[prime[i]\*j]+=mu[j];
    for(int i=1;i<=M;i++)
        pre_f[i]=pre_f[i-1]+f[i];

    int T=read();
    for(;T>0;T--)
    {
        long long n=read(),m=read();
        if(n>m) swap(n,m);

        int l=1,r=1;
        long long ans=0;
        for(;l<=n;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(pre_f[r]-pre_f[l-1])\*(n/l)\*(m/l);
        }

        printf("%lld\n",ans);
    }
    cerr<<clock()-t;
    return 0;
}

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